ÁREAS DE CURVAS PLANAS-COORDENADAS POLARES

Coordenadas polares

Hasta ahora se han representado puntos en el plano por medio de las coordenadas cartesianas que consiste en ubicar el punto por medio de las distancias que hay de éste a los ejes x y y. Sin embargo existe otro método para ubicar un punto en un plano bi-dimensional, En lugar de movernos vertical y horizontalmente desde el origen para llegar al punto, podríamos ir directamente desde el origen hasta llegar al punto y luego determinar el ángulo que forma esta línea con el Eje X positivo. Entonces podríamos usar la distancia del punto desde el origen y la cantidad que necesitábamos rotar desde el eje X como las coordenadas del punto, generalmente es llamado eje polar.

Para formar el sistema de coordenadas polares en el plano, se fija un punto O, llamado polo (u origen), y a partir de O se traza un rayo inicial llamado eje polar , a cada punto P en el plano se le asignan coordenadas polares (r, u), tal como indica en la siguiente gráfica:

r = distancia dirigida de O a P

θ= ángulo dirigido, en sentido contrario al de las manecillas del reloj desde el eje

Usualmente al angulo que se forma entre el eje polar y el punto se le representa con el simbolo griego θ (theta, zita o teta).

polar hasta el segmento OP 

AREAS EN COORDENADAS POLARES

El criterio para el desarrollo de la fórmula para calcular áreas en coordenadas polares es el mismo que el usado para coordenadas rectangulares, salvo que en este caso no se usan rectángulos diferenciales sino sectores diferenciales de círculos.

Para comprender el área dentro de una curva polar r = f( θ ), imaginemos una porción de pastel como si se tratara del sector circular. Si el corte tiene un ángulo θ y radio r, entonces es una fracción θπ/2 de todo el pastel. Entonces su área es

Ahora podemos calcular el área dentro de la curva polar r=F(θ) entre ángulos θ=una y θ=si. Como con todas las cantidades a granel,

1. Divide la región en n numero de piezas pequeñas.
2. Estima la contribución de cada pieza.
3. Sume las piezas.
4. Toma un límite para obtener una integral.

En nuestro caso, las piezas son cortes de ángulo Δ θ = ( b - a ) / N. Estos no son exactamente porciones de pastel, ya que el radio no es constante, pero es una buena aproximación cuando N es mayor que Δθ.

Donde lo que representa es que la letra griega Δ (Delta) es la variación que existe entre el "corte" que hemos realizado todo con respecto al número de regiones en la que hemos dividido nuestra pieza de pastel.

Se planteo que las piezas son cortes de ángulo Δθ=(b−a)/N. Estos no son exactamente porciones de pastel, ya que el radio no es constante, pero es una buena aproximación cuando N es un valor gande y Δθ demasiado pequeño. La e-enésima rebanada tiene un área aproximadamente f(θ∗i)2Δθ/2f(θi∗)2Δθ/2 donde θ∗i es un ángulo representativo entre a+(i−1)Δθa+(i−1)Δθ y a+iΔθa+iΔθ por lo que todo tiene un área aproximadamente:

Para obtener el área entre la curva polar r = f (θ) y la curva polar r = g (θ), simplemente restamos el área dentro de la curva interior del área dentro de la curva exterior. Si f (θ) ≥g (θ)

Ejercicio

Encontrar el área dentro de la curva dada en coordenadas polares por r=2sen(3θ)

Cálculo del área de uno de los pétalos:

Para hallar los límites de integración se hace r=0 en la ecuación

Los límites de integración para el primer bucle entonces son 0 y π/3 y el área es:

Teorema de L´Hopital

El cálculo diferencial puede ayudar a evaluar los límites de la forma:

El teorema de L'Hopital es un resultado que simplifica el cálculo de límites de fracciones

 donde f y g son funciones tales que: 

Los límites de la forma:

 donde uno de f y g y el a otro a ∞ se puede reescribir de la forma:

 por lo que la tarea principal es desarrollar un método para abordar los problemas de evaluación de límites de fracciones.

Los límites de la forma:

se lo puede tratar usando

Así, la evaluación de límites de ese tipo también se reduce a la evaluación de

Para aplicar el teorema de L´Hopital

Asumir que f y g son funciones diferenciables en un intervalo abierto que contienen números reales a, Asumir que: 

en ese intervalo y asumir que:

y suponga que se cumple una de las dos condiciones siguientes:

Entonces:

Ejemplo:

Evalue el límite de: 

BIBLIOGRAFIA:

LIBRO DE CALCULO DE LARSON 9NA EDICION

CALCULO INTEGRAL DE FERNANDO ARAUJO - UNIVERSIDAD POLITECNICA SALESIANA

https://web.ma.utexas.edu/users/m408s/m408d/CurrentWeb/LM10-4-2.php#:~:text=To%20understand%20the%20area%20inside,2%3Dr22%CE%B8.

https://www.imomath.com/index.php?options=686#:~:text=L'Hopital's%20theorem%20is%20a,g(x)%3D0.