Sucesiones

Definición

Una sucesión es una secuencia ordenada de numero como:

Una sucesión de números reales es una aplicación del conjunto N (conjunto de números naturales excluyendo el cero) en el conjunto R de los números reales.

Se denomina término de sucesión a cada uno de los elementos que componen la sucesión. Para representar los diferentes términos de una secuencia, se usa la misma letra con diferentes subíndices, que indican el lugar que ocupa esa termia en la secuencia.

Al 1 se le asigna a₁, al 2 se le asigna a₂, y así sucesivamente. Los números a₁, a₂, a₃,…, a_n… son los términos de la sucesión. El número an es el término n-ésimo de la sucesión, y la sucesión completa se denota por {a_n}.

Ejemplos de notación:

a₃=3

a_n=n

{a_n}=1, 2, 3 ,4, ........

Diferentes tipos de notación

{ a_n }=a₁,a₂,a₃,…………..,

( a_n )^m_k=1= a₁,a₂,a₃,………….., a_m
{ a_n }n ∈ ℕ= a₁,a₂,a₃,…………..,

Convergencia y Limite

Se dice que una secuencia es convergente si se acerca a algún limite, converge en un número (sin incluir ∞ o -∞, que no son números) si "se acerca cada vez más" a este número es decir tienda cada vez mas a un termino de la secuencia.

Ejemplo aquí se tiene una secuencia convergente en 3:

Un gráfico que muestra los valores de una secuencia para n desde 1 hasta aproximadamente 20, los valores se acercan gradualmente a 3 pero oscilan en ambos lados; las líneas horizontales se dibujan en 3 y un poco por encima y por debajo de 3

_{Algunos de los términos son iguales 3, algunos
términos están arriba 3 y algunos están debajo. Pero desde el octavo término en
adelante, todos los términos están entre las líneas discontinuas. No importa
qué tan cerca hagamos las líneas punteadas de 3, eventualmente los términos
estarán todos entre ellos. Es esta propiedad de estar "eventualmente
atascado entre las líneas punteadas cercanas, sin importar lo cerca que
estén", que es lo que queremos decir al decir que la secuencia converge
a 3.}

Algunos ejemplos de secuencias convergentes:

{a_n}=(1/2, 1/4, 1/8, 1/16, ......) converge a 0

{a_n}={0,1,1/2,3/4,5/8,11/16}

Sucesiones Monótonas

Las sucesiones monótonas son sucesiones que aumentan o disminuyen constantemente.

1. Una secuencia aumenta si un a_n < a_{n + 1}para cada n ≥1.

2. Una secuencia es decreciente si a_n > a_{n + 1}para cada n≥1.

3. Si una secuencia aumenta o disminuye, la llamamos monótona.

Ejemplo #1:

La sucesión a_n= (n+1)/2n^2 es decreciente, sus primeros 4 términos son {1, 3/8, 2/9, 5/32}

Ejemplo #2:

La sucesión a_n=n^2 es creciente, sus primeros 8 términos son {1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64}

_{Sumas y notación sigma, propiedades}

A la suma de los términos de una secuencia la denominamos serie es decir, es una expresión de la forma:

Donde lo que nos indica la expresión es que el limite superior es en donde nos vamos a detener y el limite inferior es donde vamos a empezar en nuestra sumatoria, mientras que a_nes la sucesión y n es el indice.